Halaman
ivPrakataSelamat, kalian telah naik ke kelas XII Program IlmuPengetahuan Sosial (IPS). Tentunya hal ini menjadi kebanggaantersendiri bagi kalian. Semoga kalian terpacu untuk berpikir lebihdewasa lagi. Meskipun sudah naik ke kelas XII, kalian tidak bolehlupa. Ingat, tantangan yang akan kalian hadapi di kelas ini tidaklahringan. Kalian harus betul-betul semangat dalam menggapai apa yangkalian cita-citakan. Untuk itu, kalian harus terus rajin belajar, gigih,dan pantang menyerah. Buku ini akan setia membantu kalian dalammenggapai cita-cita.Buku ini disusun dengan urutan penyajian sedemikian rupasehingga kalian akan merasa senang untuk mendalaminya. Dalampembelajarannya, buku ini menuntut kalian untuk aktif dan bertindaksebagai subjek pembelajaran. Kalian dituntut untuk mengonstruksi,mengeksplorasi, dan menemukan sendiri konsep-konsep matematikasehingga kalian akan menjadi orang yang betul-betul kompeten secaramatang, khususnya di bidang matematika.Di kelas XII Program IPS ini, kalian akan mempelajari materi-materi berikut:•Integral•Program Linear•Matriks•Barisan dan DeretPenulis berharap semoga buku ini dapat membantu kalian dalammempelajari konsep-konsep matematika. Akhirnya, semoga kalianberhasil dan sukses.Solo, Februari 2008Penulis
vPrakata...........................................................................iiiDaftar Isi........................................................................ivSemester 1Bab IIntegralA. Pengertian Integral sebagai Invers Diferensial .................3B. Integral Tak Tentu .............................................................4C. Integral Tertentu ................................................................11D. Pengintegralan dengan Substitusi .....................................17E. Integral Parsial (Pengayaan) .............................................19F. Penggunaan Integral .........................................................21Rangkuman ..............................................................................29Latihan Ulangan Harian I ........................................................30Bab II Program LinearA. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel ....................35B. Merancang Model Matematika yang Berkaitan de-ngan Program Linear ........................................................40C. Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsir-kannya ...............................................................................45Rangkuman ..............................................................................57Latihan Ulangan Harian II .......................................................58Bab III MatriksA. Pengertian Dasar tentang Matriks .....................................65B. Kesamaan Dua Matriks .....................................................72C. Operasi pada Matriks dan Sifat-Sifatnya ..........................74D. Balikan atau Invers Matriks ..............................................90E. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear ........................ 101Rangkuman .............................................................................. 109Latihan Ulangan Harian III ..................................................... 110Latihan Ulangan Umum Semester 1 ....................................... 114Daftar Isi
viSemester 2Bab IV Barisan dan DeretA. Notasi Sigma ..................................................................... 121B. Barisan dan Deret ............................................................. 127C. Deret Khusus dan Deret Geometri Tak Berhingga ........... 149D. Penggunaan Barisan dan Deret ......................................... 157E. Deret dalam Hitung Keuangan ......................................... 159Rangkuman .............................................................................. 167Latihan Ulangan Harian IV ..................................................... 168Latihan Ujian Nasional ............................................................ 171Daftar Pustaka...............................................................177Lampiran........................................................................179Glosarium......................................................................187Indeks Subjek................................................................188Kunci Soal-Soal Terpilih...............................................189
1IntegralSumber: Ilmu Pengetahuan Populer 2, 1999IntegralBab ITujuan PembelajaranApabila suatu laju perubahan fisik dinyatakan dalam sebuahgrafik, luas bidang di bawah lengkungan grafik mempunyai arti khas.Luas itu menyatakan keseluruhan nilai yang berada di antara grafikdan sumbu mendatar tepat di bawah grafik. Luas bidang di bawahlengkungan itu tidak dapat ditentukan dengan metode aljabar, tetapidapat ditentukan dengan integral tertentu. Teknik untuk menentukanluas bidang di bawah lengkungan itu disebut pengintegralan.MotivasiSetelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat1. merancang aturan integral tak tentu dari aturan turunan;2. menghitung integral tak tentu dari fungsi aljabar;3. menjelaskan integral tentu sebagai luas daerah di bidang datar;4. menghitung integral tentu dengan menggunakan integral tak tentu;5. menghitung integral dengan rumus integral substitusi;6. menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva;7. merumuskan integral tentu untuk luas suatu daerah;8. menghitung integral yang yang menyatakan luas suatu daerah.
2Mmt Aplikasi SMA 3 IPSKata Kunci• batas atas• batas bawah• diferensial• diferensiabel• integral tertentu• integran• persamaan keluarga kurvaPeta KonsepIntegralIntegral Tak TentuIntegralSubstitusimempelajari• fungsi primitif• integral• integral parsial• integral tak tentuIntegral TertentuLuas BidangDataruntuk menentukanmembahasIntegral FungsiAljabardiselesaikandenganRumus DasarIntegralIntegralParsial
3IntegralPembahasan mengenai kalkulus integral erat kaitannya dengankalkulus diferensial. Walaupun secara historis kalkulus integral lebihdahulu ditemukan, dalam mempelajari kalkulus terasa lebih mudahjika dimulai dengan mempelajari kalkulus diferensial, kemudiankalkulus integral. Materi tentang hitung diferensial pernah kalianpelajari di kelas XI. Demikian pula dengan materi limit. Pemahamanyang baik tentang materi-materi tersebut akan sangat membantudalam mempelajari pokok bahasan ini.Secara umum, integral dapat diartikan dalam dua macam. Keduaarti integral itu adalah sebagai berikut.a.Secara aljabar, integral merupakan invers operasi pendiferen-sialan. Coba ingat kembali, apa diferensial itu?b.Secara geometri, integral menunjukkan luas suatu daerah.Kedua pengertian di atas akan kita pelajari dalam pembahasanintegral berikut ini. Pembahasan itu, antara lain pengertian integral,integral tak tentu, integral tertentu, dan beberapa penggunaan integral.Sebelum mempelajari bab ini, jawablah soal-soal berikut.1.Diketahui f(x) = 2x2 – 9x.Tentukan f'(x).2.Sebutkan suatu fungsi yang turunannya adalah fungsi f'(x)= 3x. Ada berapa fungsi?3.Gambarlah kurva f(x) = 2x2 dan f(x) = 3x + 1 dalam satukoordinat Cartesius. Kemudian, arsirlah daerah yang beradadi antara kedua kurva itu.Setelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari lanjutkanke materi berikut.A. Pengertian Integral sebagai InversDiferensialMisalkan f adalah fungsi turunan dari fungsi F yang kontinu padasuatu domain. Untuk setiap x terletak pada domain tersebut, berlakuF'(x) = dxxdF)( = f(x)Pengertian ini telah kita pelajari pada kalkulus diferensial. Misalnya,jikaF(x) = x2 maka F'(x) = f(x) = 2xF(x) = x2 – 4 maka F'(x) = f(x) = 2xF(x) = x2 + 2 maka F'(x) = f(x) = 2xF(x) = x2 + c maka F'(x) = f(x) = 2x (c adalah suatu konstanta)Uji PrasyaratKerjakan di buku tugas
4Mmt Aplikasi SMA 3 IPSDari kenyataan tersebut, timbul pertanyaan bagaimanakah me-nentukan fungsi F sedemikian rupa sehingga untuk setiap x anggotadomain F, berlaku F'(x) = f(x)?Suatu operasi yang digunakan untuk menentukan fungsi Fmerupakan invers dari operasi derivatif. Invers dari operasi derivatifdisebut integral. Integral disebut juga antiderivatif atau antiturunan.Pada contoh di atas, jika F(x) adalah integral dari f(x) = 2x, makaF(x) = x2 + c, dengan c suatu konstanta real.B. Integral Tak Tentu1. Pengertian Integral Tak TentuIntegral fungsi f(x) ditulis dengan notasi0dxxf )(, yaituoperasi yang digunakan untuk menentukan fungsi F sedemikianrupa sehingga dipenuhi dF xdxfx()()=, untuk setiap x padadomainnya. Perhatikan kembali subbab A. Pada pembahasan itudijelaskan berapapun nilai suatu konstanta, maka turunannyaadalah nol (0). Oleh karena itu, integral dari fungsi f(x) adalahF(x) ditambah dengan sebarang konstanta, yaitu F(x) + c.Misalnya, untuk F(x) = x2 + 2, maka turunannya F'(x) = f(x) =2x. Adapun antiturunan dari 2x kemungkinan F(x) = x2 + 2 atauF(x) = x2 + 5 atau F(x) = x2 – log 2. Konstanta seperti 2, 5, dan– log 2 dapat dinyatakan sebagai c.Dengan demikian, diperoleh hubungan0+=cxFdxxf )( )(dengan 0dxxf )(= notasi dari integral tak tentuF(x) + c= fungsi antiturunan atau fungsi primitiff(x)= fungsi integran (fungsi yang dicari anti-turunannya)c= konstanta2. Rumus Integral dari f(x) = axn, untuk n&–1Pada kalkulus diferensial, kalian telah mempelajari bahwaturunan dari naxxF=)( adalah f(x) = anxn–1, dengan F' (x) =f(x). Dengan demikian, jika diketahui11 1 )(++=nxnxF maka f(x) = 1 1+n(n + 1)xn = xn.Tes MandiriKerjakan di buku tugasHasil dari(432132xxxdx+++0) = ....a.x4 + x3 + x2 + cb.x4 + x3 + x2 + x + cc. 4x4 + 3x3 + 2x2 + cd. 4x4 + 3x3 + 2x2 + x + ce. 12x4 + 6x3 + 2x2 + cSoal Ebtanas SMA,1992
5Integral11 )(++=nxnaxF maka nnaxxnnaxf )1 (1 )(=++=.Dengan mengingat bahwa operasi integral adalah invers darioperasi diferensial, lakukan kegiatan berikut.KegiatanKerjakan di buku tugasTujuan:Menentukan rumus integral f(x) = xn dan f(x) = axn denganmemahami hubungan antara f(x) dan f'(x).Permasalahan:Bagaimana rumus integral untuk f(x) = xn dan f(x) = axn?Langkah-Langkah:1.Coba kalian lengkapi tabel berikut.a.f(x)f'(x)b.f(x)f'(x)x2....3x2....x3....3x3....x4....3x4....x5....3x5....................xn....3xn....2.Sekarang pemahaman dibalik. Amati tabel yang telah kalianlengkapi. Amati dari f'(x) baru ke f(x). Pola apa yang kaliandapatkan?Kesimpulan:Kalian akan menemukan pola dari rumus integral fungsi.Jika melakukan kegiatan di atas, kalian dapat menyimpulkansebagai berikut.Integral fungsi f(x) = xn dan f(x) = axn dapat ditentukandengan rumus berikut.0++=111nnxndxx + c, untuk n& –111++=0nnxnadxax + c, untuk n& –1
6Mmt Aplikasi SMA 3 IPS3. Menentukan Hasil IntegralMisalnya f(x) = xn. Menurut rumus di atas, diperoleh00=dxxdxxfn )(cxnn + 1 11++=Dari 0++=cxndxxfn + 1 1 )(1, kalikan a di kedua ruasnyasehingga diperoleh 0&+=+1 – , + 1 )(1ncxnadxxfan.Dengan mengingat bahwa 0++dxaxcxnann = + 1 1, akan kalianperoleh bahwa 0++dxxf acxnan )( = + 1 1.Dengan demikian, diperoleh . )( )(00=dxxfadxxafDari uraian di atas, kita peroleh00=dxxfadxxaf )( )(Masih ingatkah kalian dengan sifat turunan yang menyatakanuntuk h(x) = f(x) + g(x) maka turunannya h'(x) = f'(x) + g'(x)?Dari sifat ini dapat kita nyatakan bahwa()0000=dxxg'dxxf'dxxg'xf'dxxh' )( + )( )( + )(= )(Dari uraian di atas, tentu kalian mengerti bahwa000+=+dxxgdxxfdxxgxf )( )( )()((Hal ini juga berlaku untuk tanda negatif. Oleh karena itu, diperolehsifat integral.()000±=±dxxgdxxfdxxgxf )( )( )( )(Dengan sifat-sifat tersebut, rumus-rumus integral suatu fungsilebih mudah diterapkan untuk menentukan hasil integral suatu fungsi.Tes MandiriKerjakan di buku tugasJikaf(x) = (()21ax a dx+<0,f(1) = 3, dan f(2) = 0maka nilai a adalah ....a. 2d.12b. –2 e. –13c.13Soal UMPTN, Kemam-puan IPA, 1996Contoh:1.Tentukan hasil integral fungsi-fungsi berikut.a.0dx2b.0dxx43c.20xdx
7IntegralPenyelesaian:a.00+==cxdxdx 2 2 2b.00=dxxdxx443 3cx1 4314++=+= cx535+c.2212xdxxdx=00= 2 112 112+++xc= 4312+xx c= 43xx c+2.Tentukan hasil integral dari soal-soal di bawah ini.a.0<dxxx )4 (32b.(3)32xxxdx<0Penyelesaian:a.0<dxxx )4(32 = 00<dxxdxx 432= 00<dxxdxx 4 32= x3 – 2x2 + cb.( 3)32xxxdx<0= xx x xdx<<+012( 69) 642= 0+<dxxxx )9 6 (212121135= cxxx+++++1121132115212121219.116.31–51= cxxx++<212121246518712132.
8Mmt Aplikasi SMA 3 IPS1.Tentukan hasil integral berikut ini.a.0dxx 3c.0dxx43e.dxx520b.0dxx 92d.0<dxx )10(6f.0dxx23212.Tentukan hasil integral berikut ini.a.0<dxxx )1 2(2d.dxxxxxx )32)((2220<<<b.dxxxx)4(220<e.xxdx() <02c.0<dxxxx) (232f.()xxdx226 +03.Tentukan fungsi primitifnya.a.0+dxxnn )1 (, untuk n& –1c.xdxn30, untuk n& –23b.0dxxnn2, untuk n & 1d.xn32<0dx, untuk n&524.Misalkan diketahui fungsi f(x) = 2x dan g(x) = x2. Jika (g°f) (x) ada, tentukan0. ))((dxxfgo (Ingat kembali materi komposisi fungsi yang telah kalian pelajaridi kelas XI)5.Diketahui fungsi (f ° g)(x) = 3(2x – 1)2 + 1 dan g(x) = 2x – 1. Tentukan 0. )(dxxfInfo Math: Informasi Lebih LanjutG.W. Von Leibniz(1646–1716)Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646–1716) adalah seorang jenius serba bisa yangmampu meraih beraneka gelar kehormatandalam berbagai bidang, seperti bidang hukum,keagamaan, kenegaraan, kesastraan, logika,metafisika, dan filsafat spekulatif. Dia menerbit-kan kalkulus menurut versinya pada tahun 1684M. Bersama dengan Isaac Newton, keduanyadisebut sebagai tokoh kalkulus.Leibniz menciptakan lambang-lambangmatematika baku tentang integral dan diferensialseperti yang kita pakai sekarang, yaitu lambang”0” untuk integral dan "dydx" untuk diferensial.Sumber: www.myscienceblog.comIsaac Newton(1642–1727)Sumber: www.cygo.comUji Kompetensi 1Kerjakan di buku tugas
9Integral4. Menentukan Persamaan KurvaKalian tentu telah mengetahui bahwa interpretasi geometridari fungsi turunan adalah gradien garis singgung pada kurvatersebut. Misalkan diketahui fungsi turunan sebuah kurva y =f(x), yaitu dxdy = f'(x), untuk setiap titik (x, y) dan sebuah titikpada kurva itu. Jika fungsi turunan itu diintegralkan, akandiperoleh y = f(x) = v0f() = ()+.xdx hx cPersamaan ini merupakan persamaan keluarga kurva yangmempunyai turunan dydx=().vfx Keluarga kurva adalah semuakurva dengan persamaan yang dapat diperoleh dengan caramemberikan nilai tertentu pada konstanta persamaan itu. Denganmenyubstitusikan satu titik yang diketahui ke persamaan keluargakurva maka akan diperoleh nilai c sehingga persamaan kurvayang dimaksud dapat ditentukan.Tes MandiriKerjakan di buku tugasDitentukan dydx = 3x2 –10x + 2 dan kurvamelalui titik (1, 3) makapersamaan kurvaadalah ....a.y = x3 – 5x – 2x – 5b.y = x3 – 5x2 + 2x – 5c.y = x3 – 5x2 – 2x – 5d.y = x3 – 5x2 + 2x + 5e.y = x3 – 5x2 + 2x + 5Soal Ebtanas SMA,1993Contoh:Suatu kurva melalui titik (2, 1). Apabila gradien kurva itu pada setiap titik memenuhihubungan dxdy = 2)1 (2xx<, tentukan persamaan kurva tersebut.Penyelesaian:dxdy = 2)1 (2xx< y= 0<dxxx )1 2(2= 0<dxxx )2 (22 = cxx22++Dengan demikian, persamaan keluarga kurva tersebut adalah y = cxx22++. Karenakurva yang dimaksud melalui titik (2, 1), kita tentukan nilai c terlebih dahulu dengancara menyubstitusikan titik tersebut ke persamaan keluarga kurva itu. y = x2 + x2 + c1 = c++)2(2)2(2c = –4Jadi, persamaan kurvanya adalah y = x2 + x2 – 4.
10Mmt Aplikasi SMA 3 IPS1.Tentukan F(x) jika diketahui sebagai berikut.a.F'(x) = 3x2 dan F(2) = –3b.F'(x) = x2 – 3 dan F(–3) = 10c.F'(x) = 6x2 – 8x dan F(3) = 6d.F'(x) = 2x + 6x2 dan F(–1) = 8e.F'(x) = 5 42<x dan F(2) = 11f.F'(x) = m – 3x2, F(–1) = –6, dan F(2) = 32.Tentukan persamaan kurva yang memiliki gradien berikut.a.dxdy = 10x + 3 dan melalui titik (–1, 3)b.dxdy = 3x2 – 4x dan melalui titik (3, 6)c.dxdy = –21x dan melalui titik (1, 4)Problem SolvingFungsi biaya marjinal (dalam ratusan ribu rupiah) untuk memproduksi satu unit barangper minggu adalah MdCdQQC==+4105. Biaya untuk memproduksi 1 unit produk adalahtiga ratus ribu rupiah, tentukan fungsi biaya total per minggu.Penyelesaian:Biaya total dapat dicari dengan mengintegralkan biaya marjinalnya.C(Q)= 4105Q+£¤¥¦0dQ= 15410QdQ+()0= 152102Qk+()+0= 2522QQk++Dari soal diketahui, C(1) = 3. 3 = 251212()+()+kk = 35Oleh karena itu, rumus fungsi biaya total per minggu adalah C(Q) = 25Q2 + 2Q + 35.Uji Kompetensi 2Kerjakan di buku tugas
11Integral3.Suatu garis menyinggung kurva kuadratis p(x) di titik (2, 0). Persamaan garissinggung itu adalah 2ax – 2. Jika kurva itu melalui titik (1, 0), tentukan persamaankurva itu.4.Diketahui fungsi biaya untuk memproduksi Q unit barang adalah C = f(Q). Biayamarjinal didefinisikan sebagai MdCdQC=. Fungsi biaya marjinal untuk memproduksiQ unit barang dirumuskan dengan MC = 6Q + 7 (dalam puluhan ribu). Diketahuiuntuk memproduksi 2 unit barang diperlukan biaya 380.000 rupiah. Tentukan fungsibiaya totalnya. Berapa biaya total yang diperlukan untuk memproduksi 5 barang?5.Misalnya biaya total yang dikeluarkan suatu perusahaan untuk memproduksi Qunit barang dirumuskan dengan C = f(Q). Fungsi biaya marjinal (dalam jutaanrupiah) untuk memproduksi Q unit barang per periode adalah C'(Q) = 45Q + 3.Biaya total untuk memproduksi 1 unit barang adalah 1115 juta rupiah. Tentukanfungsi biaya totalnya.C. Integral Tertentu1. Pengertian Integral sebagai Luas Suatu BidangDatarMisalkan terdapat suatu fungsi f(x) yang kontinu pada in-terval [a, b]. Daerah yang dibatasi oleh y = f(x), sumbu X, garisx = a, dan x = b dapat digambarkan seperti pada Gambar 1.1.Tes MandiriKerjakan di buku tugasNPada tiap titik (x, y)sebuah kurva y = f(x)berlaku dydx = 8x – 3.Kurva melalui titik(–1, 10). Persamaankurva itu adalah ....a.y = 4x2 + 9x + 9b.y = 4x2 – 2x + 4c.y = 4x2 – x + 7d.y = 4x2 + 2x + 8e.y = 4x2 – 3x + 3Soal Ebtanas SMA,1993Gambar 1.1YXOy = f(x)f(x2)f(x1)f(x3)f(xn)x1x2ax6x6x3x6xnx6bMisalkan interval [a, b] dibagi menjadi n interval bagian,dengan panjang masing-masing interval bagian x6. Padamasing-masing interval bagian itu, selanjutnya ditentukan titik-titik x1, x2, ...., xn, seperti pada Gambar 1.1. Kemudian, dibuat
12Mmt Aplikasi SMA 3 IPSpersegi-persegi panjang dengan panjang masing-masing f(x1),f(x2), ...., f(xn), dan lebarnya x6. Oleh karena itu, diperolehsebagai berikut.Luas persegi panjang pada interval pertama = f(x1) ×x6Luas persegi panjang pada interval kedua = f(x2) ×x6MMLuas persegi panjang pada interval ke-n = f(xn) ×x6–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– +Jumlah luas = f(x1) ×x6 + f(x2) ×x6 + ... + f(xn) ×x6xxfxfxfn6×+++=))(...)()(((21xxfni6×-== )( i1Notasi ""- (dibaca ”sigma”) adalah jumlah secara berurutan.Karena persegi-persegi panjang itu terletak pada interval [a, b]maka x1 = a dan xn = b sehingga jumlah luasnya dapat ditulisxxfLini6×-==)(1. Karena f(x) kontinu pada interval [a, b],panjang interval dapat dibuat sekecil mungkin sehingga untukn'Amaka 0 A6x. Jadi, luas daerah itu adalahLfxxxin=-×A=lim( )0166i. Dengan notasi integral, jika limit tersebutada maka rumus luas ini didefinisikan secara sederhana menjadi0=badxxfL )( .Dengan demikian, kita memperoleh kesimpulan sebagai berikut.Jika L adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x),dengan xD [a, b], sumbu X, garis x = a, dan garis x = bmakaL = )( lim10ibixxf=A6-×x6 atau L = 0badxxf)(Jadi, integral secara geometri diartikansebagai luas daerah yang dinyatakan olehlimit suatu penjumlahan. Notasi ""0adalah lambang integral yang diper-kenalkan pertama kali oleh Leibniz.Pada gambar di samping, luas daerahantara kurva y = f(x) dan sumbu X padaYXOabf (p+h)f (p)NN'MM'RSy = f(x)KLhp(p+h)(a)
13Integral•interval [a, b] , L(b) = fxdxab()0;•interval [a, p], L(p) = dxxfpa )(0;•interval [a, p + h], L(p + h) = dxxfhpa )(0+;•interval [a, a], L(a) = dxxfaa )(0 = 0.YXOabRSy = f(x)Gambar 1.2(b)Luas KLM'N < Luas KLMN < Luas KLMN'f(p) ×h < L(p + h) – L(p) < f(p + h) ×hJika setiap ruas dibagi h, diperolehf(p) < hpLhpL)( ) (<+ < f(p + h).Agar diperoleh pendekatan luas sesungguhnya, interval h dibuatsekecil-kecilnya atau 0 Ah sehingga) ( lim)( ) (lim )( lim000hpfhpLhpLpfhhh+)<+)AAAf(p) )L'(p) )f(p)Jadi, L'(p) = f(p).Karena p pada interval [a, b], untuk p = x diperoleh L'(x) = f(x).Berarti, L(x) = 0xadxxf )(.Jika F adalah antiturunan dari f maka L(x) = F(x) + c.•Untuk x = a maka L(a) = F(a) + c.Karena L(a) = 0 maka 0 = F(a) + cc = –F(a).•Untuk x = b maka L(b) = F(b) + c.Karena c = –F(a) maka L(b) = F(b) – F(a).Jadi, berdasarkan uraian di atas, luas daerah antara kurva y =f(x), garis x = a, x = b, dan sumbu X (lihat Gambar 1.2 (b))dapat ditentukan dengan rumus berikut.L = 0badxxf )( = baxF)]([ = F(b) – F(a)Pembahasan lebih lanjut mengenai luas daerah di bidang dataryang dibatasi suatu kurva, sumbu X, dan dua garis sejajar sumbu Yakan kita perdalam pada subbab tentang penggunaan integral.
14Mmt Aplikasi SMA 3 IPS2. Pengertian Integral TertentuIntegral tertentu adalah integral dengan batas-batas integrasiyang telah ditentukan. Pada pembahasan sebelumnya, kita telahmempelajari bahwa integral dapat diartikan sebagai limit suatujumlah, yaitu jika f suatu fungsi integrable (dapat diintegralkan)pada interval [a, b] = {x | a )x) b, x Dbilangan real} dan Fmerupakan antiturunan dari f maka0badxxf )( = baxF)]([ = F(b) – F(a)Notasi 0badxxf )( disebut notasi integraltertentu dari f karenaditentukan pada batas-batas integrasi a dan b. Untuk batas-batasintegrasi itu, a disebut batas bawah integrasi dan b disebut batasatas integrasi.Informasi Lebih LanjutTugasKerjakan di buku tugasCoba kalian cari tahutentang ”TeoremaDasar Kalkulus”. Apaisi teorema tersebut?Siapa tokoh yangberada di balik teo-rema tersebut?Contoh:1.Tentukan nilai dari dxxx ) (41340<<.Penyelesaian:414541344151 ) (<<μ³<=<0xxdxxx= ́¦¥²¤£<<<< ́¦¥²¤£<4545)1(41 )1(51 )4(41 )4(51= 141142.Tentukan nilai a yang memenuhi 0=<adxx16 )12(.Penyelesaian:0<=<aaxxdxx112][ )12(6 = (a2 – a) – (1 – 1)6 = a2 – a – 0a2 – a – 6 = 0(a – 3)(a + 2) = 0(a – 3) = 0 atau a + 2 = 0a = 3 atau a = –2Jadi, nilai a yang dimaksud adalah a = –2 atau a = 3.
15Integral3. Sifat-Sifat Integral TertentuSifat-sifat integral tertentu adalah sebagai berikut.a.dxxfcdxxfcbaba )( )( 00=, dengan c = konstantab.dxxgdxxfdxxgxfbababa )( )( ))( )((000+=+c.dxxfdxxfdxxfbabcca )( )( )(000=+, a < c < b, dengan a, b,dan c bilangan reald.dxxfdxxfabba )( )(00<=e.dttfdxxfbaba )( )(00=Bukti:Sifat-sifat di atas mudah untuk kalian buktikan. Oleh karenanya,di sini hanya akan dibuktikan sifat c saja.Misalkan F adalah antiturunan dari f.fxdxfxdxaccb() () 00+= FxFxaccb()()[][]+= Fc FaFb Fc()()()()<[]+<[]= )()(aFbF<= 0badxxf )( ................................. terbuktiCoba kalian buktikan sifat-sifat lainnya.Sifat-sifat ini dapat memudahkan kalian dalam menentukannilai-nilai integral pada suatu interval. Agar kalian dapatmemahami sifat-sifat integral di atas, perhatikan contoh berikut.Tes MandiriKerjakan di buku tugasNilai ()()62412xx+<0adalah ....a. 44d. –17b. 37e. –51c. 27Soal Ebtanas SMA,1995Contoh:Dengan sifat-sifat integral tertentu, carilah hasil dari dxxxdxxx )1 ( )1 (5322312200<+<.Penyelesaian:dxxxdxxx )1 ( )1 (5322312200<+< = dxxx )1 (51220<Tes MandiriKerjakan di buku tugas()324221xxdx++<0 =....a.–14 d. 10b. –6e. 18c. –2Soal UAN SMK, 2003
16Mmt Aplikasi SMA 3 IPSDengan demikian, diperolehdxxx )1 (51220<=513131μ³+xx= μ³+<μ³+11)1(3151)5(3133= 408151.Dengan sifat-sifat integral tertentu, selesaikanlah soal-soal berikut.a.051 8dxd.02032dxxxb.0423 2dxxe.0<<3124 )1 (dxxxc.0302dxxxf.0+<52 2) 1)(5 (2dxxx2.Hitunglah nilai dari integral berikut.a.0<+20 3) 5)( 2(dxxx + 0<+42 3) 5)( 2(dxxxb.0<+31 1) 2)( 3(dxxx – 0<+34 1) 2)( 3(dxxxc.0+<2023 )8 6 (dxxxx – 0+<4223 )8 6 (dxxxxd.0<2102 )2 8(dxxx – 0<2142 )2 8(dxxx3.Tentukan nilai a dari integral berikut.a.0<<0132 ) (2dxxx +0<adxxx032 ) (2 = 34b.dxxdxxa1212400< = 2Uji Kompetensi 3Kerjakan di buku tugas
17IntegralD. Pengintegralan dengan SubstitusiBeberapa bentuk integral yang rumit dapat dikerjakan secarasederhana dengan melakukan substitusi tertentu ke dalam fungsi yangdiintegralkan tersebut. Di antara bentuk integral yang dapat dikerjakandengan substitusi adalah bentuk 0))(( ))((xfdxfn.Coba perhatikan bentuk 0dxxn. Bentuk ini telah kalian pelajarisebelumnya. Bagaimana jika variabelnya diganti dengan fungsi,misalnya f(x)? Bentuk ini akan menjadi 0))(( ))((xfdxfn.Untuk menyelesaikan suatu integral yang dapat disederhanakanmenjadi bentuk (()) (())fx dfxn0, dapat dilakukan substitusi u = f(x).Dengan substitusi u = f(x), diperoleh bentuk integral berikut.0))(( ))((xfdxfn = 0++=11 1nnunduu + cdengan u = f(x) dan n& –1.Perhatikan kembali bentuk 0))(( ))((xfdxfn. Misalkan diambil g(x)= xn maka 0))(( ))((xfdxfn = 0))(( ))((xfdxfg. Secara umum,bentuk 0))(( ))((xfdxfn dapat ditulis sebagai 0))(( ))((xfdxfg.Jika diambil substitusi u = f(x), diperoleh bentuk integral0))(( ))((xfdxfg = 0duug )(.Agar kalian dapat memahami pengintegralan bentuk ini, per-hatikan dengan saksama contoh-contoh berikut.c.0+1032 1) (dxxx + 0+adxxx132 1) ( = 340d.0<<adttt13 ) ( + 0<23 ) (adttt = 49<4.Jika x = 1 – 3y, tentukan nilai-nilai integral berikut.a.030dyxc.0<11dxyb.0+102 ) (dyxxd.0<102 ) (dxyyTes MandiriKerjakan di buku tugasJika 12310230xdxa=0 ;a > 0()230xdxb<0 = 4 ; b > 0maka nilai (a + b)2 = ....a. 10d. 25b. 15e. 30c. 20Soal UMPTN, 1993KreativitasTugasKerjakan di buku tugasDiberikan fungsi f(x) =x2 – 5x + 6 dan g(x) =x3 – 1.Buktikan bahwa0f(x) g(x) dx= f(x) 0g(x) dx – 0[f'(x)(0g(x) dx)] dx
18Mmt Aplikasi SMA 3 IPSCarilah hasil integral 0+<<dxxxx 12) 7 7)( (262.Penyelesaian:0+<<dxxxx 12) 7 7)( (262 = 0<+<dxxxx 7) (212) 7 (62Misalkan u = x2 – 7x + 12.dxdu = 2x – 7 du = dxdudx du = (2x – 7) dxSebenarnya lambang dxdu adalah suatu kesatuan dan tidak sama dengan du : dx. Namun,untuk mempermudah perhitungan, dxdu = 2x – 7 biasanya langsung ditulis du = (2x – 7)dx. Oleh karena itu,( 7 12) (2 7) 26xxx dx<+<0= 0udu6= 71u7+ c = 71(x2 – 7x + 12)7 + cDengan cara langsung, diperoleh0<+<dxxxx 7) (212) 7 (62= 0+<+<12) 7( 12) 7 (262xxdxx= 71(x2 – 7x + 12)7 + cCarilah hasil integral berikut.1.0<dxx6)3 2(36.0+<<52 )64(3423xxdxxx2.3 2 3dxx+07.()22212xdxxx+++03.0<<<dxx6)4 01(48.0<10 )3(dxx4.36 )23dxx(<09.0<<022 )3(dxx6.5.(6334xxxxx 5 2) 5 22<+<+0dx10.4845212xxxdx<<+<0Contoh:Uji Kompetensi 4Kerjakan di buku tugas
19IntegralE. Integral Parsial (Pengayaan)Jika kita menjumpai soal udv ,0 dengan u dan v adalah fungsi-fungsi dalam variabel x yang sulit dikerjakan, sedangkan udv0 lebihmudah dikerjakan maka kita perlu mendapatkan hubungan keduaintegral tersebut untuk memperoleh penyelesaian udv0. Misalnya,y = uv, dengan u = u(x) dan v = v(x) adalah fungsi-fungsi yangdiferensiabel (dapat didiferensialkan) maka y' = u'v + uv'. Dalamnotasi Leibniz, hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.dxdvu vdxdudxdy+=dxdvu vdxdudxuvd+=)(d(uv) = v du + u dvJika kedua ruas diintegralkan, diperoleh000+=dv udu vuvd )(uv = 00+dv udu vDari persamaan terakhir, diperoleh hubungan 0dvu dan duv0, yaitu0dvu = uv –duv0Pada rumus tersebut, integral yang diberikan harus dipisah menjadidua bagian, yaitu satu bagian adalah fungsi dan bagian lain (fungsiyang mengandung dx) adalah dv. Oleh karena itu, rumus tersebutsering disebut integral bagian atau integral parsial. Strategipenggunaan integral parsial adalah sebagai berikut.a.Memilih dv yang dapat segera diintegralkan.b.Memilihduv0 yang lebih mudah dikerjakan daripada udv0.Tentukan xxdx 4 <0.Penyelesaian:Pilihan 1:Misalkan dipilih u =x<4 dan dv = x dx.Dengan demikian, du = 12x<4dx dan v = .212xxxx xxx 4 =12 414142<<<<00dxdx2Tes MandiriKerjakan di buku tugas15223xx<0dx = ....a. 18d. 24b. 20e. 26c. 22Soal SPMB, 2006Tes MandiriKerjakan di buku tugasxxdx103+0 = ....a.10815d.11615b.12815e.10615c.9615Soal Tes STT TEL-KOM, 1992Contoh:
20Mmt Aplikasi SMA 3 IPSBentuk ini sulit dikerjakan sehingga pemisalan u dan dv yang demikian tidak digunakan.Pilihan 2:Misalkan dipilih u = xx<4 dan dv = dx.du = xxdx<<<442x dan v = x.xxx xx xxx<<<<<<£¤²¥¦ ́004 =4424dxdx2Bentuk ini juga sulit dikerjakan sehingga pemisalan u dan dv yang demikian juga tidakdigunakan.Pilihan 3:Misalkan u = x. Dengan demikian, du = dxdv = x<4dx sehingga dvxdx 4 =<000dv = x<04d(x – 4)v = 0<<4)(4)(21xdx234) (32<=xvTernyata pemisalan u dan dv seperti ini memudahkan bentuk integral tersebut sehinggadapat kita gunakan.xxdx 4 <0= 234) (32<xx– 0<dxx 4) (3223= 234) (32<xx– 0<<4) ( 4) (3223xdx= cxxx 4) (154 4) (322523+<<<Uji Kompetensi 5Kerjakan di buku tugasTentukan integral-integral berikut.1.0+dxxx 3) ( 54.6 2 3xdxx<02.0+dxxx 4) (2835.0+231) ( 2xdxx3.xxdx 2 <06.3(2)2xxdx<043x
21IntegralCoba kerjakan soal berikut secara berurutan dengan menggunakanintegral parsial.1.xxdx03.xxdx302.xxdx204.xxdx40Dari keempat soal di atas, pemilihan fungsi u manakah yang kaliananggap sulit? Mengapa kalian menilai demikian? Jelaskan.7.xxdx2 2 <09.xxdx3 4 +08.xxdx3 1 <010.8 ( 1)432xdxx+0F. Penggunaan IntegralDi antara penggunaan integral adalah untuk menentukanluas suatu daerah.Gambar 1.3Gambar 1.4-22O4YXf(x) = x2-22O4YXf(x) = x2InkuiriDiskusiSebelum membahas lebih lanjut tentang penggunaan inte-gral untuk menentukan luas suatu daerah, ada baiknya kalianmempelajari bagaimana cara menggambarkan luasan suatudaerah terlebih dahulu.Cara-cara menggambar grafik telah kalian pelajari di ke-las X, terutama grafik fungsi kuadrat. Misalkan kalian akanmenggambar suatu daerah yang dibatasi oleh fungsi f(x) = x2dan sumbu X pada interval –2 )x) 2. Pertama, kamu harusmenggambar kurva (grafik) fungsi f(x) = x2, –2 )x) 2 padabidang Cartesius seperti Gambar 1.3.Tarik garis batas pada interval (terkecil atau terbesar) sejajarsumbu Y hingga memotong kurva f(x) = x2. Kemudian, arsirdaerah yang berada di antara kurva dan sumbu X pada intervalyang diberikan sehingga diperoleh Gambar 1.4.Bagaimana jika daerah yang dimaksud dibatasi oleh duakurva? Cara menggambarkannya pada prinsipnya sama seperticara-cara di atas. Namun, hal yang sangat penting diperhatikanadalah titik perpotongan kedua kurva. Kalian harus menentukantitik potong kedua kurva itu. Di samping itu, kalian juga harusmemahami pada interval mana fungsi yang satu memiliki nilailebih besar daripada fungsi lainnya. Hal ini penting untuk me-nentukan luas daerah tersebut.
22Mmt Aplikasi SMA 3 IPSGambarlah luasan daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2 dan f(x) = x pada interval0 )x) 1.Penyelesaian:Kalian tentu sudah dapat menggambar kedua kurva itu. Titik potong kedua kurva adajika keduanya mempunyai titik persekutuan.Dengan menyamakan kedua fungsi itu diperolehx2= xx2 – x= 01O4YXf(x) = x2f(x) = x1Gambar 1.5x(x – 1) = 0x= 0 atau x = 1Untuk x = 0 Af(0) = 0 (boleh diambil dari kedua fungsiitu)Untuk x = 1 Af(1) = 1Jadi, titik potong kedua fungsi adalah (0, 0) dan (1, 1).Secara lengkap, luas daerah yang dimaksud dapatdigambarkan sebagai daerah yang diarsir (lihat gambar di samping).Pada interval 0 )x) 1, tampak bahwa fungsi f(x) = x lebih besar daripada fungsif(x) = x2.Bagaimana cara menggambarkan luasan daerah yang dibatasi dua kurva itu pada inter-val 1 )x) 2? Bagaimana pula pada interval –1 )x) 0? Coba kalian kerjakan.1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu Xantara Kurva y = f(x), Sumbu X, Garis x = a,dan Garis x = bKalian telah dapat menggambarkan daerah-daerah yangdibatasi kurva-kurva. Sekarang kita akan mencari luas daerah-daerah itu.XYOy = f(x)abGambar 1.6Di depan telah dibuktikan bahwa luas daerahdi atas sumbu X yang dibatasi oleh kurva y = f(x),sumbu X, garis x = a, dan garis x = b dapatditentukan dengan rumus di atas, yaituL = 0badxxf )( = baxF)]([ = F(b) – F(a)dengan F(x) adalah antiturunan dari f(x). Untuk lebih jelasnya,mari kita pelajari contoh berikut.Contoh:
23IntegralGambar 1.7YXy = 4x – x2O1234Penyelesaian:a.Dengan menggambarkan grafik kurva dangaris-garis batas yang diberikan terlebihdahulu pada bidang koordinat, diperolehgambar di samping. (Daerah yang diarsiradalah daerah yang dimaksud).b.Luasnya dapat ditentukan dengan meng-integralkan y = 4x – x2 dengan batas-batasintegralnya mulai dari x = 1 sampai x = 3.L= 0<312 ) 4(dxxx = 3132]31 2[xx<= μ³<<μ³<3232)1(31)1(2 )3(31)3(2 = (18 – 9) – (2 – 31) = 713 satuan luasYXO12345(3, 4)YXO123456YXO123456(6, 3)(0, 3)YXO-123-211Gambar 1.8Contoh:Suatu daerah dibatasi oleh kurva y = 4x – x2, x = 1, x = 3, dan sumbu X.a.Lukislah kurva tersebut dan arsir daerah yang dimaksud.b.Hitunglah luas daerah itu.Uji Kompetensi 6Kerjakan di buku tugas1.Lukislah sketsa grafiknya, kemudian arsir daerah yang disajikan oleh kurva dengannotasi integral berikut.a.030 2dxxc.0<+41 2) (dxxe.0<32 4dxb.0<+<112 4) (dxxd.0<<142dxxf.0<<122 ) 9(dxx2.Tulislah notasi integral yang menyatakan luas daerah yang ditunjukkan oleh bagianyang diarsir di bawah ini.(a)(b)(d)(c)
24Mmt Aplikasi SMA 3 IPSXYOy = f(x)abc3.Tentukan luas daerah yang diarsir pada soal nomor 2.4.Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva di bawah ini.a.y = 6 – 3x, sumbu X, garis x = –3, dan garis x = 1b.y = 8 – 2x, sumbu X, garis x = –4, dan garis x = –1c.y = x2, sumbu X, dan garis x = 3d.y = x2 + 2, sumbu X, garis x = 1, dan garis x = 4e.y = x2 – 4x + 3, sumbu X, garis x = 4, dan garis x = 55.Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh sumbu X dengan kurva-kurva berikut.a.y = –3x – x2d.y = 2 + x – x2b.y = 6 – 3x2e.y = –x2 + 6x – 8c.y = 2 – x2f.y = (1 – x)(x – 3)2. Luas Daerah Gabungan: Di Atas dan di BawahSumbu XUntuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurvay = f(x), sumbu X, garis x = a, dan x = b seperti pada Gambar 1.9dilakukan dengan analisis sebagai berikut.Untuk c < x ) b nilai f(x) > 0 sehingga-=bcxxf)(×x6> 0. Hal ini berarti 0>bcdxxf0 )(.Pada interval a ) x < c, f(x) bernilai negatifatau f(x) < 0 sehingga 0 )(<6×-=xxfcax.Hal itu berarti 0 )(<0dxxfca. Adapun padatitik c, f(x) bernilai nol atau f(c) = 0.Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x),sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, sepertipada Gambar 1.10 adalah sebagai berikut.Gambar 1.9Gambar 1.10acx6x6bf(x)f(x)y = f(x)YXOLuas = Luas daerah di bawah sumbu X + Luas daerah di atassumbu XKita telah mengetahui bahwa 0cadxxf )( bernilai negatif,sedangkan luas suatu daerah tidak mungkin bernilai negatif.Untuk itu, 0cadxxf )( perlu diubah tandanya sehingga nilainyamenjadi positif. Hal itu dilakukan dengan cara membalik batasintegralnya atau membubuhkan tanda negatif dari bentuk inte-Tes MandiriKerjakan di buku tugasLuas daerah yangdibatasi oleh kurva y =3x2 – 2, garis x = 2,garis x = 4, dan sumbuX adalah ....a. 60 satuan luasb. 52 satuan luasc. 44 satuan luasd. 6 satuan luase. 2 satuan luasSoal UN SMK, 2004
25Integralgral semula sehingga diperoleh 0acdxxf )( atau –0cadxxf )(.Dengan demikian, luas daerah yang dimaksud adalahL = 00+<cabcdxxfdxxf )( )( atau L = 00+acbcdxxfdxxf )( )(Contoh:Tentukan luas daerah yang diarsir pada Gambar 1.11 de-ngan menggunakan integral.Penyelesaian:Karena L2 terletak di bawah sumbu X (bernilai negatif), L2diberi tanda negatif (agar menjadi positif). Oleh karena itu,luas daerah yang dicari adalah sebagai berikut.Luas = L1 + (–L2) = L1– L2L=0+<102 4) 5 (dxxx – 0+<412 4) 5 (dxxxYXO12345612345-1-2-3y = x2 – 5x + 4L2L1Gambar 1.11=00+<++<1014224545) dxx(x) dxx(x=1423102342531 42531μ³+<+μ³+<xxxxxx=13152141 032()()()<+³μ<[]μ³+<<μ³+<+)4(4)4(25)4(31)1(4)1(25)1(31323=μ³+<<μ³+<+μ³+<16280364 42531 42531=116116166386613+<<£¤¥¦==Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 613 satuan luas.Misalkan diberikan suatu fungsi f, pada interval a ) x ) c maka f(x) ) 0dan pada interval c < x ) d maka f(x) > 0. Apa yang terjadi jika kalianmenggunakan rumus fxdxad() 0 untuk mencari luas antara kurva dansumbu X? Mengapa demikian? Langkah apa yang kalian ambil?Berpikir KritisDiskusi
26Mmt Aplikasi SMA 3 IPS1.Tentukan luas daerah yang diarsir berikut.YXO123451234-1-2-3y = x2 – 3x-1YXO123451234-1-2-3y = x-1-2-312Gambar 1.12(a)(b)Untuk soal nomor 2 – 8, tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikutdan sumbu X pada interval yang diberikan.2.y = x2 – 7x + 10; [0, 2]3.y = x2 – 25; [–5, 5]4.y = x2 – 5x; [0, 5]5.y = x2(x – 1); [0, 1]6.y = x(x + 1)(x – 2); [–1, 2]7.y = x(x2 + x – 6); [–3, 2]8.y = x3 – 9x; [–1, 1]9.Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x2, sumbu X, garis x = 2, dan garisx = 4.10. Gambarlah kurva y = x2 – 8x + 15, kemudian tentukan luas daerah yang dibatasioleh kurva tersebut, garis x = 1, garis x = 7, dan sumbu X.OABEFCDabXYLy1 = f(x)y2 = g(x)3. Luas Daerah yang Dibatasi Dua KurvaGambar 1.13Misalkan terdapat kurva y1 = f(x) dany2 = g(x), dengan f(x) > g(x) pada intervala < x < b, seperti pada Gambar 1.13. Luasdaerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x)dan y2 = g(x) dari x = a sampai x = b dapatdihitung dengan cara berikut.Luas L adalah luas daerah di bawahkurva y1 = f(x) dari titik a ke b dikurangiluas daerah di bawah kurva y2 = g(x) darititik a ke b.L= luas daerah ABCD – luas daerahABFEUji Kompetensi 7Kerjakan di buku tugas
27Integral=0badxxf )( – 0badxxg )(=0<badxxgxf ))( )((Jadi, luas daerah itu adalahL = 0<badxxgxf ))( )((Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x dan y = 6x – x2.Penyelesaian:Perpotongan antara kedua kurva tersebut adalah x2 – 2x = 6x – x2 2x2 – 8x = 0 2x(x – 4) = 0x = 0 atau x = 4Untuk x = 0 maka nilai y = 0.Untuk x = 4 maka nilai y = 8.Oleh karena itu, titik perpotongan antara kedua kurva itu adalah (0, 0) dan (4, 8)sehingga batas integralnya adalah x = 0 hingga x = 4.YXO12345612345-1y = x2 – 2x6789Ly = 6x – x2L=0<<<4022 ))2 ( ) ((6dxxxxx=0<402 )2 8(dxxx=403232 4μ³<xx=44234023()()<³μ<[]= 64 – 4223=2113Gambar 1.14Contoh:Jadi, luas daerahnya adalah 2113 satuan luas.
28Mmt Aplikasi SMA 3 IPSHitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut (nomor 1–9).1.y = x dan y = x22.y = 3x dan y = x23.y = x2 dan y = 4 – x24.y = x2 – x dan y = 3x – x25.y = 2x dan y = x2 – 4x6.y = 7 – x2 dan y = x2 – 2x + 17.y = (x – 2)2 dan y = 10 – x28.y = – 1 dan y = x29.y = x2, y = 8x – x2, dan sumbu XGambar 1.17–22O4YX5y = 4 – x210. Gambar di samping adalah sisi samping dari se-buah jembatan. Lengkungan jembatan mempu-nyai persamaan y = 4 – x2. Berapakah luas sisisamping jembatan itu (daerah yang diarsir)?Uji Kompetensi 8Kerjakan di buku tugasSoal TerbukaKerjakan di buku tugas1.Perhatikan gambar di samping.Tentukan luas daerah yang diarsir.2.Perhatikan gambar di atas. Tentukan luas daerah yangdiarsir.Gambar 1.15Gambar 1.16o3369y = 9y = –x2+ 6xXYO42y = –x2+ 4xy = x2XY
29Integral1.Bentuk 0dxxf )( = F(x) + c dinamakan integral tak tentu dari f(x).2.Beberapa rumus integral tak tentu adalah sebagai berikut.a.0+=cx dx b.0=ax dx a + c, untuk a konstantac.0++=1 1 1nnxndxx + c, untuk n& –1d.0++=1 1 nnxnadxax + c, untuk n& –1e.000+=+dxxgdxxfdxxgxf )( )( ))( )((f.00=dxxfadxxaf )( )(3.Jika F adalah antiturunan dari f, luas daerah di atas yang dibatasi oleh kurva y =f(x), sumbu X, x = a, dan x = b adalah L = fxdx Fxabab() ()=[]0 = F(b) – F(a).4.Sifat-sifat integral tertentua.00=babadxxfcdxxfc, )( )( untuk c = konstanta.b.000+=+bababadxxgdxxfdxxgxf )( )( ))( )((RangkumanUntuk menambah wawasan kalian tentang materi integral,carilah informasi yang berhubungan dengan penggunaan inte-gral (tokoh, materi, teknik pengintegralan) di berbagai sumber(perpustakaan, internet, maupun buku-buku penunjang).Setelah mempelajari integral, tentukalian tahu bahwa luasan suatu daerahbidang datar yang memiliki bentuk teraturdapat ditentukan luasnya. Menurut kalian,Refleksiapakah hanya itu kegunaan integral?Seberapa sering kalian menggunakanaplikasi materi ini?Informasi Lebih LanjutTugasKerjakan di buku tugas
30Mmt Aplikasi SMA 3 IPSLatihan Ulangan Harian II. Pilihlah jawaban yang tepat.1.010xdx = ....a.cx919+<<b.cx11111+<<c.cx919+<d.cx11111+<e.cx11111+<2.0+++(39 2 1)(78 2) 2xxx dx = ....a.(39x2 + 2x + 1)2 + cb.21(39x2 + 2x + 1)2 + cc.78x3 + 2x2 + cd.39x3 + 2x2 + x + ce.21(39x3 + 2x2 + x)(78x + 2) + c3.0+9 23xxdx()9 = ....a.2932()xc3++b.23932()xc3++c.25932() xc3++d.32932()xc3++e.12912()xc3++4.Diketahui dxxdF)( = ax + b, F(0) = 3 +F(–1), dan F(1) – F(0) = 5. Nilai a + b = ....a.8d.–2b.6e.–4c.25.Gradien suatu kurva dinyatakan denganm = dxdy = (x – 1)3. Jika kurva tersebutmelalui titik A(3, 0), persamaan kurvaitu adalah ....c.000=+bacbcadxxfdxxfdxxf )( )( )(d.00<=baabdxxfdxxf )( )(e.00=babadttfdxxf )( )(5.Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurvaJika f(x) *g(x) > 0 pada domain [a, b] maka luas daerah yang dibatasi oleh y1= f(x), y2 = g(x), garis x = a, dan garis x = b adalahL = dxxgxfba ))( )((<0Kerjakan di buku tugas
31Integrala.4y = (x – 1)3 + 16b.4y = (x – 1)4 – 16c.4y = –(x – 1)3 – 16d.y = –14(x – 1)4 + 16e.y = (x – 1)4 + 166.0<<1332 )11(dxxx = ....a.910d.2,5b.109e.4c.147.Jika f(x) = ax + b, 0=101 )(dxxf, dan0=215 )(dxxfmaka nilai a + b = ....a.3b.4c.5d.–3e.–48.Luas daerah yang dibatasi oleh kurvay = x3 – 6x2 + 8x dan sumbu X adalah ....a.4b.6c.8d.10e.129.Luas daerah yang dibatasi oleh kurvay = 2 – x2 dan y = –x adalah ....a.29d.25b.27e.23c.310. Luas daerah yang dibatasi oleh kurvay = –x2 + 2x, sumbu X, dan garis x = 3adalah ....a.0d.8b.113e.4c.22311. Luas daerah yang diarsir pada gambardi bawah adalah ....a.61b.65c.32d.23e.112. Luas daerah yang dibatasi garis y = 12dan kurva y = 22 1xx+ dapat dinyatakansebagai integral tertentu, yaitu ....a.0+<10221 1 dxxxd.0+1022 12dxxxb.dxxx 1 1210220+<e.0+102 12dxxxc.0+<1022 1 1dxxx13. Luas daerah yang dibatasi oleh kurvay = x2 dan y = x + 2 adalah ....a.9d.69b.827e.79c.627YXOy = x2 – 3x + 2
32Mmt Aplikasi SMA 3 IPS14. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 4x= y2 dan y = 2x – 4 adalah ....a.9d.96b.827e.79c.62715. Luas daerah yang dibatasi oleh kurvay = 4x dan y = 3 dari x = 1 sampai x = 2adalah ... satuan luas.a.1b.2c.3d.5e.623II. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar.1.Hitunglah integral berikut.a.( 1)( 2)xxxdx+<0b. 3 sin sindxxx02.Tentukan persamaan suatu kurva yangmemiliki persamaan gradien dydxx=dan melalui titik A(9, 18).3.Tentukan luas daerah yang dibatasi olehkurva y = 9 – x2 dan y = x + 3.4.Tentukan luas daerah yang dibatasi olehkurva y = 4 x2, y = x2, dan y = 4 dikuadran I.5.Misalkan suatu pabrik memproduksi Qunit barang menghabiskan biaya yangbersesuaian dengan fungsi C(Q). Biayamarjinal adalah besarnya biaya tambahanyang harus dikeluarkan pabrik karenaadanya penambahan unit barang yangdiproduksi. Secara matematis, biayamarjinal dirumuskan dengan MdCdQC=.Jika diketahui MC = 27Q + 1 (dalamratusan ribu), tentukan rumus fungsibiaya totalnya.